行为经济学如何解释购买彩票（乐透游戏）的行

　　谢邀， @zyy，这个问题很难答誒，因为研究实在是太多了，所以我只能说那么几个，大家来补充吧。
的确，买彩票本身是一个挺难解释的事情，花在彩票上的每一块钱，如果把博彩当做一项投资行为的话，彩票的平均收益在四毛钱到五毛钱之间，中国的数据是，彩金的大约49%是被用于构成奖池的（当然还有之前没有用到的部分），另外有1%作为机动资金，其他50%的彩金都用于慈善公共事业和支付彩票发行本身的成本了。而彩票本身的风险是非常大的，因为彩票中奖的概率非常的小，比如某些类似于35选7的彩票，大家不妨自己算一下，古典概型。亿创理财（E* Trade）曾经有一句非常著名的广告语：
Someone is going to win the lottery, just not you.因此，彩票本身甚至如果用一个均值-方差效用函数（
）来评价决策者的行为的话，那么买彩票这个行为本身就足以违背“理性人假设”了：毕竟，买彩票，相对于不买，是一件均值更小，方差更大的行为。
关于买彩票这一行为的解释，最直接的一种解释是，彩票的售价非常低，花两块钱买一张彩票已经便宜到了几乎让人感觉不出自己花过钱。这个解释虽然有一定道理（从我个人而言），但是有一些对它不利的实验室证据，比如：
买彩票的群体以穷人为主，低收入群体portfolio中用在彩票上的财富比例高于高收入群体(Brinner Clotfelter, 1975 Clotfelter Cook, 1987, 1989 Livernois, 1987 Spiro, 1974 Suits, 1977)，而穷人似乎应该比富人对一个固定的价格更敏感。但是这个理由在很多人看来是站不住脚的，他们的反驳是，低收入者由于作为一个群体受教育水平普遍不高，所以根本不明白买彩票里面的收益-风险结构(例如，Herring Bledsoe, 1994 Brown, Kaldenberg Browne, 1992 Wakker, 1992 Rogers Webley, 2001 Forrest Gulley, 2009)。但事实是，即使获得了这样的知识，人也很难改变购买彩票的行为 (Williams Connolly, 2006)，而且，获取彩票支付结构知识的成本是非常低的，很多国家管制彩票市场的手段都是强制的信息披露，所以很难有人想知道但不能知道这项知识(Kocher, Krawczyk van Winden, 2011)。也就是说，虽然教育对博彩行为的影响确实存在，但是并不是因为低受教育水平的人不懂彩票是“负和博弈”。针对彩票的需求价格弹性进行的实验室实验直接表明，需求对于价格是非常敏感的 (Wagenaar, 1988)。无论如何，从显示性偏好的角度看，博彩行为表现为某种程度的“偏度偏好”(preference for skewness)，因为，彩票的收益结构，小中奖概率+大中奖金额 (jackpot prize) 本身就代表了一个三阶原点矩非常大的随机变量。所以根据Minton Vorkink (2004)，理解彩票行为最好是这样一个效用函数：

。
不过，这样的解释（从心理学的角度上）相当于什么也没解释，它只是如实地将决策描述了出来而已，这就不得不面对Stigler Becker (1977) 提出的问题：因为（主流）经济学中不包含一个偏好形成的理论，所以很多问题解释起来非常困难。针对这一点，的确博彩行为需要某种“行为经济学解释”。下面列举出的是我所知道的那些解释游戏问答，值得注意的是，这些解释彼此之间并非绝对可以区分的，解释变量A和解释变量B在一个线性回归方程当中本身可能不是正交的（下文中会有例子）。
一、弗里德曼-萨维奇：主观相对收入
这方面最著名的研究是弗里德曼和萨维奇给出的(Friedman Savage, 1948)，他们给出的(Bernoulli)效用函数是这样的：



可以看到，相比于传统理论假设Bernoulli效用函数是一个全局concave的函数，这个函数假设在一个区段中效用相比于财富增长的二阶导数是正的，这导致有风险偏好这种情况出现。后来，这个效用函数被马可维茨做了一些修改(Markowitz, 1968)，将“Gain”和“Loss”分开并假设了Loss的斜率更高，这就是大名鼎鼎的前景理论的原型，并得到了一些经验证据的支撑(例如，Jullin Salanie, 1997)。
作者对这个函数的解释是(pp. 298-299)“社会地位”，对于一个穷人来说，买一张彩票，不中奖的结果不仅仅是损失了一笔小钱，还是使自己继续待在低收入阶层，可是一旦中奖了，收益不仅仅是大量的财富，还有自己身份和阶层的提升。比较新的理论论文是Golman Loewenstein (2012)，这篇文章在前景理论的基础上引入了一个“双重参照点”模型，不同于Koszegi Rabin (2006, 2007, 2009) 仅将“预期”当做参照点，这篇论文认为“预期”和“渴望” (aspiration) 都是参照点（，但是功能不同），而“渴望”的水平决定于人向往的社会阶层。Haisley, Mostafa Loewenstein (2008) 的实验室实验验证了这个解释机制，即“主观相对财富”对彩票需求的负向影响。注意这里的“主观”是指自己认为自己是个穷人还是富人，比如，很多财富处在全国前1%的人，由于社会网络的限制，都觉得自己很穷（王思聪的朋友们）。
因此，这个理论未必只能解释绝对意义上的低收入者的行为。
二、过度乐观：
过度乐观是一种非常普遍的现象，即人通常对自己的命运、运气、能力、信息精确性有着高于客观水平的预期 (Sharot, 2011 或参见为什么人总是倾向于相信自己愿意相信的？ - 陈茁的回答)。脑成像研究表明，这种偏见与杏仁核 (amygdala) 和前扣带回 (rostral anterior cingulate cortex) 的唤醒有关(Sharot, Riccardi, Raio Phelps, 2006)，至少说明过度乐观是与情绪而非纯粹的“冷认知”有关。
这种过度乐观的偏见将导致，消费者“想象中”的彩票概率分布和真实的概率分布不同，想象中的更具有吸引力。一项经验研究显示，的确平均来看博彩者对于获奖的概率估计（相比于真实概率）过度高估了 (Rogers Webley, 1998)。
一篇发在AER上的论文 (Brunnermeier Parker, 2005) 用过度乐观预测了偏度偏好。在这个模型里面，决策者要求解一个“最优幻觉”。因为对未来感到乐观，哪怕是不切实际的乐观，会对人的“福利”产生影响 (Scheier, Carver Bridges, 2001 Diener Diener 1995 Baumeister, Campbell, Krueger Vohs 2003 Peterson Bossio, 2001)，但同时预期偏离现实会使得决策无法做到最优。这个模型的核心就是让两个收益之间权衡出一个最优结果，此时，在一个经典的资产组合选择问题当中，偏度偏好能够推导出来。近期的论文，Epstein Kopylov (2007) 以及 Kopylov Noor (2009) 在决策论的框架内公理化了这种倾向。 最近的一项实验室研究(Astebro, Mata Santos-Pinto, 2014)也表明，在许多能够推导出偏度偏好的理论解释中，过度乐观是最佳解释。
三、后悔厌恶
人们不喜欢后悔的感觉，也就是说后悔是一种valence为负的情绪，可能使人们购买彩票。这个解释很简单：以早年间只猜胜平负的足球彩票为例，导致后悔的“错误”一般有两种，一种是“猜对了没买”，另一种是“猜错了买了”，相对于第二种错误只损失了一张彩票钱，第一类错误可是让自己错过了几百万的收入啊！所以，为了防止第二类后悔，第一类后悔要难受得多的多的多。这也让导致了彩票的正需求。Bar-Hillel and Neter (1996) 发现，在实验室中，相比于笔之类的纯粹商品，被试非常不愿意交易彩票，即彩票的WTA (willingness to accept) 非常高，原因就是一旦卖出去自己的彩票，一旦中奖后悔感非常强烈。
后悔厌恶特别能够解释很多人每个周都会将自己的幸运数字作为博彩投注号码的行为，因为一个习惯形成之后，一旦中断一次，结果这个结果中奖了，后悔感也是非常大的，远远大于这个数字错了带来的后悔感 (Crosbie, 1996)。
关于后悔厌恶的理论模型，最早可以追溯到Savage(1948)的minmax-regret模型，这个模型近期被Hayashi(2007)公理化了。另外，像是Loomes Sugden (1982) 和Bell (1982) 也提出了相应的后悔厌恶模型，Fishburn (1982) 证明，后悔厌恶偏好可能违背偏好的传递性。去年的一篇文章 (Bleichrodt Wakker, 2015) 回顾了这个理论的发展史。
下面这张图摘自我去年在中国经济学年会报告的一篇论文里面的一个例子（这个东西毫无技术含量已经被我删了，所以我就贴出来了）：



纵轴表示对风险资产的需求，横轴表示中奖概率。图中的蓝色直线是新古典的portfolio模型给出的预测，其中直线与横轴的交点表示均值为0的portfolio，此时需求也是0。红线表示给定后悔厌恶偏好之后的风险资产需求，我们可以看到，给定一个convex的函数作为后悔的“负效用”度量，那么蓝线与横轴交点的左边，即平均收益为负的资产也可以有正需求。
下面这张图假设了资产的一、二阶矩不变，横轴表示三阶矩，纵轴表示需求。不同的线表示不同的资产组合方差，可以看到后悔厌恶模型能够推导出偏度偏好，且方差越小偏度偏好越强烈。




不过，也有一些证据表明，很多支持后悔厌恶偏好的实验室证据，其实起源于框架(framing effect)效应，详情参见Starmer (2000) 对这个理论的评价。
而且，后悔厌恶，可以严格地用数学证明，和过度乐观就是可以互相翻译的。
四、凸显性与高估极端结果的概率
通常来说，传统的期望效用理论，在类似0.5概率赢、0.5概率输的赌博中表现良好，但一旦某些结果有接近0的概率，期望效用常常失败，经典的Allais悖论就是一个很好的例子 (参见维基百科词条：Allais paradox)，事实上，整个“非期望效用理论” (non-expected utility theory)，本质上就是为了解释这个问题而存在的。几个经典的非期望效用理论：前景理论、排序依赖的期望效用理论 (rank-dependent utility theory, Quiggin, 1982)和累积前景理论 (cumulative prospect theory, Tversky Kahneman, 1992) 都捕捉到这样的事实：人们会高估极端事件的概率 (参见：如何理解「累计前景理论」？ - 陈茁的回答)。
当然，这里的“高估”既可以解释为认知上的高估，即“过高地估计”，也可以解释为过度赋权，即“过多地关注”。事实上我们无法从行为当中直接识别出两者的差异，就像我们其实不能分辨状态以来的 (state-dependent) 期望效用 (参见MWG. 6.E) 和主观概率期望效用 (Anscome Aumann, 1961) 一样。
极端事件可以指可能性特别低的事件。这是一个经典的权重函数 (Kahneman Tversky, 1979)：




这个权重函数是加权期望效用理论 (Chew MacCrimmon, 1979 Starmer, 2000) 和前景理论用的权重函数。其中，可以看到人们对概率特别小的事件赋予的权重大于概率本身。这对买彩票来说当然是重要的，因为中奖的概率就是特别小。
极端事件也可以从整个随机变量的角度定义，另一个经典的加权函数是这样的 (Tversky Kahneman, 1992)：



这里，曲线的斜率表示某个点概率的权重。在一个彩票赌博中，挣钱的概率相比于不挣钱的概率差别特别大，因为挣钱表示一个排序更高的结果（排序依赖的），它的权重是很大的（这个确实不好理解）。另外，Brandstatter, Kuhberger Schneider (2002) 通过实验证明，“失望厌恶” (disappointment aversion, 参见：Bell, 1985 Loomes Sugden, 1986 Gul, 1991 Chauveau Nalpas, 2010) 与权重函数的形状有关，人们会高估小概率事件，是因为小概率的时间发生时会带来“惊喜” (elation)。
Fennema Wakker (1994) 就用排序依赖的期望效用理论为彩票的正需求做了一个规范模型。
毋庸赘言，这种解释也是可以和上述几种解释（过度乐观、后悔厌恶）相互翻译的。
从神经经济学的角度看，偏度偏好与“脑岛”(insula)的唤起关系密切(Burke Tobler, 2011 Wu, Bossaerts Knutson, 2011)，而脑岛就与“凸显性”(salience)有关系。凸显性是这样定义的(Thompson, 1982, Cited in Bordalo, Gennaioli Shleifer, 2011)：
Salience refers to the phenomenon that when ones attention is differentially directed to one portion of the environment rather than to others, the information contained in that portion will receive disproportionate weighting in subsequent judgments.
举例来说，当一头猪站在一群猴子中间的时候（来自一个胖子的自黑），人的注意力会自动地集中到猪身上，原因是这头猪非常的“凸显”。彩票一般的结构是有无限多个服从古典概型的states，只有一个表示中奖，这个state对应的支付在整个随机支付结构中就显得非常“凸显”，因而就会被人赋予更高的权重。根据这个思想， Bordalo, Gennaioli Shleifer (2011) 用数学语言定义了凸显性，并且给出了这样的预测：



不用说，偏度偏好就在其中：在小概率（靠左的位置）+大奖金（靠上的位置）面前，人是偏好风险的。
五、购买希望
这个解释是我本人最倾向的。在答案焦虑是一种怎样的状态，这种情绪对人来说有什么意义？ - 陈茁的回答中，我提到过一组关于“消解不确定性的时间安排”(temporal resolution of uncertainty，中南大学的曹乾老师翻译作“不确定性在时间上的分辨性”)中重要的两种情绪之间的相互抵消作用：焦虑和盼望 (savouring)。同样一个收益的随机变量，当我们给不确定性的消解赋予不同的时间结构（即关于结果信息披露的时间安排），两种情绪分别产生反方向的作用：不确定性消解得晚，人就必须承受焦虑，但同时能够享受盼望带来的快乐，不确定性消解得早，焦虑和盼望同时没有了。
Loewenstein (1987) 提到过一个例子，当他问班上的三十个本科生“你愿意把明星的一个香吻安排在什么时候”，与传统的单纯假设不耐的贴现效用模型的预测不同，学生们都希望将它安排在三天之后，原因就是能够享受盼望带来的快乐。一些实验研究表明，像是彩票这样的小概率+大收益的支付结构，人们会有强烈的拖延不确定性消解的倾向 (Chew Ho, 1994 Kocher, Krawczyk van Winden, 2011)，原因在于，这样的类似于彩票的收益结构，在不确定性消解之前游戏问答，能够带来期盼和希望的充实感。上面两篇文章的主标题都特别有意思，第一篇是一个单词“Hope”，第二篇是“Let me dream on！”以我个人的观察，我身边很多朋友会花一点钱买彩票就是这个原因：周一买一张周五开奖的彩票，并不是真的为了这个“奖”，而是购买周一到周日开奖这段时间之中，由于获得了获得大量收入的机会，而能够合理地幻想自己富有的时候，并从中直接“获得效用”。由于彩票的成本足够低，所以伴随着的焦虑感并不强烈，此时期盼就dominate了焦虑成为彩票购买的主要动因。
不过，据我所知，这方面的研究不太多，还包括了Forrest, Simmons Chesters (2002)、Clarke (2005)、Ariyabuddhiphongs Chanchalermporn (2007，作者是泰国人所以名字那么长)。
六、其他解释
还有几种行为经济学解释，我个人并不赞成，好像也不太主流，但是也列出来吧：
peer effect：很多人买彩票是因为身边的人也在买 (Browne Brown, 1994 Bandura, 1977 Coups, Haddock Webley, 1996 Langer, 1975)，这是一种社会心理学解释；易得性偏见(availability bias)：因为相比于彩票收益真实分布的统计数据和概率计算，电视等等大众媒体上的新闻是更“易得”的信息，因此人们通常喜欢用这些信息来推断概率(Kahneman Tversky, 1974)，但由于新闻只会报道彩票中奖的故事而不会关注不中奖的人，所以人们会高估中奖概率；赌徒谬误(gambles fallacy)或者是小数定律(law of small number)：人们倾向于错误地在样本很小的情况下应用大数定律，如果几个结果都是“输”，人们会倾向于相信接下来的结果是赢的概率高于正常概率（彩票是独立同分布的随机试验）。因为人们买彩票一定是输多赢少，所以会高估中奖概率(Clotefelter Cook, 1993 Jarvik, 1951)。这是一种“代表性偏见”(representativeness bias)的表现(Kahneman Tversky, 1994)。利他偏好：其实官方发行彩票的原因就是为了社会公益，的确有些人就是因为做公益才买彩票的(Gri ths Wood, 1999)；好玩：就是为了刺激 (Miyazaki, Langenderfer Sprott, 1999; Bruyneel et al., 2006; Lam, 2007)。这个答案真是越写越觉得列不完，就写这么多吧。
以上~游戏问答